天文固定的三维平差法及应用
摘 要 本文研究了制约三维平差发展的两个主要因素：(1) 天文观测工作量大，(2) 受垂直折光的影响天顶距观测精度低。在此基础上，提出了把天文经纬度作固定的天文固定三维平差法。该方法采用现有的垂线偏差分量来代替外业天文经纬度观测值，并在函数模型中适当处理天顶距垂直折光的影响，获得了满意的结果。另外，本文还针对三维平差观测值种类多的特点，通过试验，认为采用FÖrstner近似公式为好。同时，本文给出了边长和天顶距的垂直归心公式。
关键词 三维平差 函数模型 垂直折光 垂直归心
1 引 言
1978年，布隆斯(BRUSS)提出了三维平差的设想，该设想把大地网看作由空间直线构成的多面体(BRUSS多面体)，在这个多面体上任一大地网点可由表征该点空间位置的三个坐标参数和表征该点垂线方向的二个方向参数来表示，通过观测水平方向、空间斜距、天顶距、天文经纬度和天文方位角在平差中确定上述五个参数。经过马鲁西(A•Marussi)、霍丁(M•Hotine)、沃尔夫(H•Wolf)等学者的研究，三维平差的理论从设想变成现实，建立了三维平差的数学模型。三维平差的观测值包括每个控制点上的方向、天顶距、天文经纬度和至少一个方向的天文方位角、部分观测边长，这不仅大大地增加了外业工作量，而且天文观测受天气影响严重，作业效率很低。另外，垂直折光的影响造成外业天顶距精度低。这两方面因素制约了三维平差的广泛应用和进一步发展。鉴于此，本文提出了天文固定的三维平差方法，该方法从现有的三维平差函数模型出发，把天文经纬度作固定，达到充分利用已有垂线偏差分量，减少系统性参数，从而减少对外业天文观测量的数量要求；在函数模型中排除单向观测天顶距，利用对向观测天顶距进行垂直折光的削弱，有效地减弱垂直折光对平差结果的影响。
作者通过试验认为对于三维平差来说，采用FÖrstner近似公式进行方差分量估计最实用。
三维平差是以标石中心为出发点，因而所有观测值均要求归算到标石中心，这样就产生了垂直归心的问题。由于标高、仪器高相对较小，水平方向、天文经纬度和天文方位角的垂直偏心并不影响平差结果，所以不需要归心。而边长和天顶距会由于观测与照准的部位不同而不同，因而平差前必须对其进行归心处理。
2 天文固定的三维平差函数模型
天文固定的三维平差函数模型就是把大地点上的概略天文经纬度作为已知值固定的三维平差。设K点的站心直角坐标：
则有：
式中：αki为k点至i点的天文方位角，βki为k点至i点的天顶距，Ski为k点至i点的空间弦长。
由文献［1］可得站心直角坐标系与参心直角坐标系的关系。
当把天文经纬度固定时有三维平差函数模型。
2.1 斜距观测值Ski的误差方程
Ｖski=C1(δΧi-δXk)+C2（δYi-δYk）+C3（δΖi-δΖk）+lSki
(2)
式中：
2.2 水平方向观测值nki的误差方程
Vnki=-δθk+αi1δXi-αk1δXk+αi2δYi-αk2δYk+αi3δZi-αk3δZk+lnki
式中：
见式(2) http;//www.othermap.com测绘信息网
2.3 天文方位角观测值αki的误差方程
Vαki=αi1δXi-αk1δXk+αi2δYi-αk2δYk+αi3δZi-αk3δZk+lnki
(4)
式中：
lαki=α0ki-αki, αi1，αk1，…α０ki见式(3)。
2.4 天顶距观测值βki的误差方程
Vβki=bi1δXi-bk1δXk+bi2δYi-bk2δYk+bi3δZi-bk3δZk+lBki
(5)
式中：http;//www.othermap.com测绘信息网
b
α为参考椭球长半径。
2.5 水准高差观测值Δhki的误差方程
VΔhki=di1δXi-dk1δXk+di2δYi-dk2δYk+di3δZi-dk3δZk+lΔhki
式中：
di1=cosB0icosL0i, di2=cosB0isinL0i, di3=sinB0i
dk1=cosB0kcosL0k, dk2=cosB0ksinL0k, dk3=sinB0k
lΔhki=Δh０ki-Δhki+ζk-ζi
ζi、ζk分别为i、k点的高程异常。
垂线偏差分量ξ、n对斜距观测值和水准高差观测值没有影响，微分天文方位角α和天顶
距β可得：http;//www.othermap.com测绘信息网
dα＝sinα0ctgβ0dφ+(sinφ０-ctgβ０cosφ0cosα0)dλ
dβ＝-cosα0dφ-cosφ０sinα０dλ
如果取φ0＝B、λ0＝L、dφ＝ξ、dλ＝ηsecφ０
则有：
dα＝ξsinα0cotβ0+η(tanφ0-ctgβ0cosα0)
dβ＝-ξcosα0-ηcosα0
由上式可以看出，用天文经纬度计算的α和β包含着垂线偏差分量对α和β的影响，其量值就是常规平差时的垂线偏差改正数，而由天文固定的三维平差函数模型可知，垂线偏差对误差方程系数的影响甚微。因此，天文固定的三维平差自由项l既反映了垂线偏差的贡献，同时也包含垂线偏差分量的误差和概略大地坐标的误差的影响。概略大地坐标的误差可以通过多次平差进行消除(经过验证概略坐标精度达到5 m即可)，垂线偏差分量误差对平差结果的影响与常规二维平差相一致。
3 观测边长和天顶距垂直归心公式
3.1 边长垂直归心公式［5］
方法1：假定测站两端点垂线交于地心附近，则：
i为仪器高，a为标高，ＲＡ为地球长半径。该方法简单明了，能满足毫米级的精度要求。
方法2：用观测边长计算椭球面弦长l０后计算标石中心弦长S０
式中
N1、N2分别为测站两端点对应的卯酉圈曲率半径，B1、B2为大地纬度，a1、b分别为参考椭球长短半径，e2为第一偏心率。
方法3：用大地线长S0计算椭球面弦长l0后计算S：
式中A为测站点到照准点的大地方位角，e′２为第二偏心率。
3.2 天顶距垂直归心公式：
概略计算公式：
式中a为标高、i为仪器高、S为观测边长，该公式能满足0.1″级的归心精度要求。
精确计算公式［５］：
采用下式计算β1、β2也能得到同样的结果。
4 计算结果与分析
计算试验区测于50年代，该锁由22个一等三角点组成，如图1。
图1以2、3两点作固定，本三角锁共计观测了49条激光边S，100个一等水平方向值n,94个对向观测天顶距β，4个天文经纬度和天文方位角，假定天顶距等权的前提下，取σon=0.7″，σoβ＝5.0″,σos＝0.005+S×10-6，σoφ＝σoλ=0.3″,σoα＝0.5″，采用FÖrstner近似公式进行方差分量估计的迭代计算，FÖrstner近似公式为
式中N表示全网的法方程系数阵，Ni表示由第i类观测值的对应部分。
得出如下结果：
作为比较，以同样条件计算了Helmert严密方差分量估计，得出了类似的结果：
由此可知，这两种方法所得的结果几乎相等，因此具有三类观测值的FÖrstner递推公式是准确可行的。
取上述随机模型结果，在54北京坐标系分别进行天文固定三维平差和常规二维加一维平差，据其结果的差值可知，天文固定三维平差结果与常规二维平差结果略有不同，其原因是由于高程观测值对水平位置平差结果的贡献，且这种贡献因缺、乏强有力的控制而过大，从而导致天文固定三维平差水平位置结果与常规二维平差结果略有不同。天文固定三维平差的高程位置结果与常规三角高程平差结果也有差异，主要是由于三维平差在处理天顶距时加入垂线偏差分量的影响。而在常规平差时对此不加考虑(详细结果可向作者索取)。
众所周知，天顶距观测值的垂直折光误差由观测瞬间测线所经过处的瞬间垂直折光系数所决定，任意瞬间某处的折光系数K与该处的瞬时气压、气温和温度梯度及湿度有关。研究表明，对于同一测线，在相同的季节，近似的天气情况下，中午时段对向观测天顶距的折光差基本相同［2］,因此严格依据规范测量的三角高程网，其折光误差在往返测高差中得到绝大部分的抵消，仅残留由于气象条件改变而无法抵消的较小部分。实验表明，设与不设折光系统性参数δＫ，平差结果完全一致，符合文献［2］的结论，同时，计算结果验证了垂线偏差分量对天文固定三维平差的贡献与对常规二维平差的贡献的一致性。
利用下式：
i=1,2,……，n n为点数。
对19、21两点进行天文固定三维平差的精度估计，与之对应，也进行了三角高程平差和常规二维平差的精度估计，其结果列于表1。由表1可知，天文固定三维平差与常规平差的水平置精度相当，而有效地提高了高程结果的精度。
表1
水平位置精度m=m２B+m2L/m 高程位置精度mＨ/m
点号 天文固定平差 常规二维平差 天文固定平差三角高程平差
19 0.71 0.68 1.111.36
21 0.73 0.70 1.121.38
经过本文的研究，得出如下结论：(1) 天文固定三维平差，利用已有的垂线偏差分量来代替外业天文经纬度观测值，既减少了对外业天文观测值的数量要求，同时又获得了满意的结果；(2) 天文固定三维平差，采用对向观测天顶距消除折光误差效果显著，有效地提高三维平差中高程结果的精度；(3) 天文固定三维平差获得统一的三维大地坐标，明确了三角高程的大地高系统；(4) FÖrstner近似公式是多类观测值之间的定权的一种有效的方法，该方法避免了采用严密的方差分量估计时许多复杂的矩阵运算。
参考文献
1 熊 介.椭球大地测量学.北京：解放军出版社，1988
2 沙 毅.三角高程测量大气垂直折光与观测高差之标准误差模型研究.［学位论文］.
西安：西安测绘研究所，1993
3 黄维彬.近代平差理论及其应用.北京：解放军出版社，1991
4 王新洲，于正林. 方差分量估计的快速算法.武测科技.1994(2)
5 欧阳桂崇. 三维平差理论与方法的研究.［学位论文］.郑州：郑州测绘学院，1995
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