GPS附合网三维平差的方法和应用
摘要:提出对城市及工程GPS网作附合网平差的意义和方法。在所研制的软件中采用消去未知参数及附加基准方程两种算法，经实测GPS附合网数据验证，所得结果完全相同。
关键词:GPS附合网;3维平差;固定点;基准方程
一、前言
用常规技术建立起来的地面控制网不能提供具有足够精度的已知点来控制GPS网，因此首级GPS控制网常按固定一点或再加一个方位角按独立网予以处理。因若按附合网来平差、转换GPS网，会因可观的地面网的固有误差而使GPS高精度的相对网形遭受扭曲，由此而建立起来的GPS网充其量只能达到与原有地面网大致相当的精度。
然而，随着GPS技术的飞速发展，出现了崭新的情况。今后全国大地基准将统一采用“2000国家大地坐标系”，作为实现此坐标系的框架，我国已建立了一个空间大地控制网，即国家GPS2000网，目前已包括2000个左右的高精度GPS站点，不少省份还基于全国大地基准，建立了全省GPS网，而上海、深圳、广州、苏州、宁波等市还建立了甚高精度的基准站网，网中连测了国内若干个连续运行站，采用GAMIT和GLOBK软件作数据处理。将高精度的国家、省GPS网点以及城市基准站点作为城市GPS网的固定点，不仅能提高城市GPS网的精度，而且也有利于已采用的城市相对独立的平面坐标系统与国家平面坐标系统之间建立联系。因此进一步研究对GPS附合网作3维平差的合适方法更有其现实意义。
二、GFS附合网3维平差的模型
现有的一些GPS网平差转换软件也具有作附合网平差的功能。但往往除了只固定一个点的3维坐标外，对其余固定点只固定其大地经纬度，这是因为当初考虑到作为固定点的地面网控制点并不具有精确的大地高所造成的。其实这并非真正意义上的附合网3维平差，因固定点上的大地高在平差后仍会发生变动，并不能完全固定网中基准点的3维坐标。
国家和省级GPS控制点以及城市GPS基准网点提供了已纳人到某个ITRF的3维地心坐标成果，而GPS网观测值则是与ITRF2000十分接近的WGS-84系中的3维坐标差，因而在3维地心直角坐标系中平差就更为方便，其误差方程是十分简单的线性式，就网中任一基线向量而言，可取基线向量两端点i和1的3维近似坐标的改正数为未知参数，则其误差方程式为分别表示点
二、GFS附合网3维平差的模型
现有的一些GPS网平差转换软件也具有作附合网平差的功能。但往往除了只固定一个点的3维i及j3维近似坐标的改正值;Oxi,,A 坑，AZi表示点i到点J的基线向量观测值;AX息'Ay马，0Z0表示点i到点j3维近似坐标的坐标差计算值;式(1)右端最末项是常数项。据此可将全网误差方程写成一般形式为
V= A 6 X 一L ( 2 )
仅由式(2)不能确定坐标，系数矩阵A的列秩亏数为3，因基线向量观测值中含有尺度及坐标轴方向的信息，只需补充位置基准条件，即可消除秩亏。至少须固定网中一点的已知坐标，这可由该GPS网中所包含的基准点来提供。于是可采用消去待定参数或附加基准方程两种互为等价的方法，来实现在由基准点所体现的3维地心坐标系中的平差定位。
三、 GP S 附合网3维平差的两种算法
1. 消去待定参数法
设GPS网中共有n个网点，其中含有m个作为固定点的基准点，对固定点的近似坐标即取其已知坐标值，显然其平差后改正值8X。为零，于是可将其排除在待定参数ax,以外，式(2)中的系数阵A则因减少了相应的3m列，成为列满秩阵，可改用A,来表示，于是全网新的误差方程组可表示为
V=A,8 X ,一L (3)
旋,的最小二乘解及其协因数阵则为
ax ,= (A Z PA ,) 一’A 了P L (4 )
Q%j = (A TP A) 一’ (5 )
具体编程时，只要在A阵中删去与固定点对应的
I‘CPAc
. -j 'r
一、J C
Gcl一I 一Nc1Gc(G脚c cGc)一’G脚c’Nc1Gc(G脚clGc)一’
(G c Nc 'Gc)一‘GCNC- ‘ 一(G枷crG c)一‘ ={Qrr c Un c ]
从而得出坐标待定参数的估值及其协因数阵为
8Xc = 一Q CA CP L ( 10 )QXc =Qc=Nc‘一Nc'Gc(GCNC1G c)一’GCN-C‘(1 1)
只要取用相同的坐标固定值及近似坐标，由式(4)和式(10)所得的3(n一m)个待定坐标改正值总是完全相同的;由式(S)和式(11)所得的待定点坐标协因数阵亦完全相同。这除了理论上可给出证明外，也得到了实测GPS网的数据验证。在我们所研制的GPS平差转换软件中，对附合网平差同时给出消去待定参数和附加基准方程两种方法，这不仅能为程序正确编制提供了有效的保证，也为应用人员可能发生的误操作做出检查。
由上得出的3(n一m)维的协因数阵当然并不包括固定点，只需在与固定点相应的行和列补充3n维的零向量，所得的增广矩阵即为全部网点的协因数阵。
四、结束语
1. 以若干个具有精确3维地心坐标的GPS点为固定点对城市GPS网作附合网平差定位，从而就能在城市中实现3维地心坐标系，就能与全国测绘3m列即可得到A,阵，将孩向量删去对应的3m行成为8X,，即可利用上式求解。
2.附加基准方程法因式(2)中的系数阵A列秩亏，不能直接采用通常的附加条件的满秩间接平差模型进行平差，为便于求解，可在m个固定点中任取一点，消去该点所对应的3个坐标待定参数，从而使误差方程中新的系数矩阵A。列满秩。此时就可利用通常的附有条件的满秩间接平差进行计算，其相应的误差方程及基准方程为建设的步伐相一致，并与国际接轨。这是有着重大现实意义的。目前我国许多城市所能真正提供的成果还仅是平面坐标，即使已采用GPS技术进行过改造的城市，所能给出的3维直角坐标充其量也只属于参心坐标系，且含义不明。经过引入基准点并按附合网3维平差定位使所有的城市控制点都同时具有3维地心坐标，就能方便地实现与“2000国家大地坐标系”间的精确转换，并将有力地推动GPS实时动态定位技术(RTK)的发展和普及。
2.由全部网点的3维地心坐标，无须通过国家参考椭球为过渡，即可直接转换到已建立的基于区域性椭球面的相对独立的平面坐标系，我们已依据有关理论〔2,3〕研制成软件，用于对实测网的处理，并已取得了满意的效果，限于篇幅，将另文阐述。
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