曲面拟合法求GPS网正常高的几点认识
【摘 要】 本文分析了二阶多项式函数模型的几何特征。通过曲面拟合测区的似大地水准面时对高程拟合起算点的可靠性分析、整体拟合和分区拟合的选择、GPS高程拟合精度的分析等方法提出了自己的见解，并通过实例，介绍了上述方法的具体应用。
一、前 言
GPS在控制测量中的应用越来越受到测量工作者的青睐，特别是平面控制测量，利用GPS可以很灵活地布网，测量速度快效益好，精度高且均匀，减少了手工操作和内业计算工作。然而GPS正常高的确定受高程异常的影响，用曲面拟合时需要多次试算，选择不同的起算点，不同的分区均对GPS高程拟合精度有较大影响。笔者通过对曲面拟合模型(二阶多项式函数)的分析，提出利用高程异常图选择整体拟合和分区拟合，对高程拟合起算点的可靠性分析和GPS高程拟合精度的分析等方法，有助于提高GPS高程拟合精度。通过实例，介绍了上述方法的具体应用。
二、大地高与正常高的关系
国家高程系统采用的是正常高或正高系统，我国采用正常高系统。正常高(或正高)是由地球重力场定义的高程参考面，即似大地水准面(或大地水准面)起算的。
GPS测定的是大地高差，获得的是大地高而不是正常高，这是用GPS测定高程的主要问题。
经过GPS网的三维平差，可获得各点的大地高hi，如果在其中一些点上同时进行水准测量可得出该点的正常高Hi，则该点高程异常可按下式求出：
ζi=hi-Hi (1)
若由GPS和水准测量共测点所得的ζi为已知，内插其他GPS测点高程异常，从而获得各点的正常高，这是GPS测定高程控制的基本方法。
三、用二阶多项式函数拟合高程异常(曲面拟合)
曲面拟合法通常选取二阶多项式函数，同济大学研制的TGPPS软件也采用如下模型：
ζi＝a0+a1xi+a2yi+a3x2i+a4y2i+a5xiyi+εi (2)
式中，ζi表示高程异常，a0,…，a5为拟合系数，xi、yi为平面坐标，εi为残差。
通过6个以上已知高程异常值的GPS测点，用最小二乘法(［εi2］=min)求拟合系数，然后利用式(2)(不考虑残差)求其他GPS点高程异常，最后获得正常高。
下面来分析一下模型(2)的几何特征。
对式(2)求一阶偏导：
求二阶偏导：
一旦式(2)确定，a0，…，a5均为一常数，模型(2)与某一切平面存在一个切点，说明式(2)几何表示为一“抛物单曲面”，仅有一个凹面或凸面。了解二阶多项式函数模型的几何特征非常重要，如果高程异常图像鞍部、水波浪形等存在多个凹凸面时，用一个二阶多项式函数就无法以数学形式表示，采用TGPPS软件计算时结果就出现较大残差；选择不同起算点，无论怎样试算也无法得以改善。
四、对高程拟合起算点的可靠性分析
似大地水准面的形状可以通过高程异常图来反映。从式(1)可知高程异常值与正常高和大地高有关，等值线的绘制与分布点的高程异常值有关。在高程异常图的绘制过程中，如果有某点的高程异常值与等值线趋势明显地不协调，我们应对该点的高程(正常高和大地高)进行分析和检测。对大地高的数据分析可以打开野外数据采集时仪器高的数据文件核查仪器高的输入与手簿记录是否一致，是否二次设站；对正常高的数据分析采用常规方法；必要时实地检测大地高或正常高。
笔者最近对某市690 km2 GPS控制网的检验中通过高程异常图的绘制(图1)发现443号点的高程异常值与等值线趋势存在20 cm的偏离。从二次设站观测方法可以判定该点大地高数据可靠；正常高的分析采用实地检测方法，用三等水准附合路线检测该点高程，也得出原高程正确的结论。
从高程异常图可以看出443号点周围高程异常变化较大，为了反映高程异常细部，有必要在该点周围增加水准联测点密度，有利于提高等值线绘制精度和高程拟合精度。
五、整体拟合和分区拟合的选择
二阶多项式函数模型的几何特征为一“抛物单曲面”，然而一个测区的似大地水准面并不会如此规整，为了使二阶多项式函数与似大地水准面拟合得更好，有必要为二阶多项式函数定义一个区域，即选择整体拟合和分区拟合。
从二阶多项式函数模型的几何特征我们知道如果似大地水准面的形状仅存在一个凹面或凸面，选择整体拟合能够较好地获得表示似大地水准面形状的二阶多项式函数。在使用TGPPS软件时由于受内存的限制，三维平差一次最多平差70点左右，对于较大范围控制的测区可以分区三维平差，获得的大地高采用同一基准，然后利用高程计算中数据编辑功能把各分区的高程数据文件组成一个整体拟合的高程数据文件。这样也有利于减少水准联测点的数量，并获得较好拟合精度的高程。
如果测区的似大地水准面的形状存在两个以上凹面或凸面，就需要对拟合模型进行定义区域，即分区拟合。分区的原则是似大地水准面分区域内存在一个凹面或凸面。
某市GPS网如果采用整体拟合方法拟合高程，各水准联测点的拟合残差见表1。
表1
点号 水准高程/m 拟合高程/m 残差/mm 点号 水准高程/m 拟合高程/m 残差/mm
439 3.046 3.123 -77 499 9.357 9.365 -8
443 3.111 3.312 -201 710 3.045 3.164 -119
454 4.093 4.088 +5 712 4.433 4.395 +38
459 4.174 4.160 +14 713 4.251 4.232 +19
465 5.065 5.074 -9 406 4.911 4.917 -6
705 3.117 3.155 -38 414 3.815 3.803 +12
706 5.323 5.289 +34 416 4.408 4.407 +1
707 3.847 3.880 -33 418 4.894 4.858 +36
708 4.672 4.652 +20 435 4.130 4.114 +16
320 9.621 9.657 -36 436 4.380 4.423 -43
471 3.925 3.829 +96 701 3.156 3.123 +33
472 3.360 3.279 +81 702 3.242 3.200 +42
488 5.166 5.126 +40 703 3.819 3.750 +69
491 5.108 5.095 +13 中误差
从某市高程异常图可以看出该测区存在三处较大的凹凸面，采用整体拟合，精度较差，特别是曲面凹凸变换处残差更大，例如：443、710、471点。
采用分区拟合时分区线的选择按上述原则划分，某市GPS网高程拟合分区线采用如图1所示中a1a2、b1b2线把测区分成三个分区，计算各点拟合残差见表2。
表2
点号 水准高程/m 拟合高程/m 残差/mm 点号 水准高程/m 拟合高程/m 残差/mm
分区Ⅰ
320 9.621 9.618 +3 499 9.357 9.365 -8
471 3.925 3.926 -1 710 3.045 3.046 -1
472 3.360 3.367 -7 712 4.433 4.425 +8
488 5.166 5.168 -2 713 4.251 4.256 -5
491 5.108 5.105 +3 拟合中误差M1=±5 mm
分区Ⅱ
406 4.911 4.922 -11 436 4.380 4.396 -16
414 3.815 3.809 +6 701 3.156 3.147 +9
416 4.408 4.423 -15 702 3.342 3.252 -10
418 4.894 4.882 +12 703 3.819 3.824 -5
435 4.130 4.114 +16 拟合中误差M2=±12 mm
分区Ⅲ
439 3.046 3.045 +1 706 5.323 5.317 +6
443 3.111 3.120 -9 459 4.174 4.163 -11
454 4.093 4.091 +2 707 3.847 3.863 -16
465 5.065 5.090 -25 708 4.672 4.658 +14
705 3.117 3.089 +28 拟合中误差M3=±15 mm
从分区拟合结果来看，高程拟合精度得到了较大改善。
六、高程拟合精度的分析
GPS高程拟合精度一般采用以下方法计算：
1. 计算拟合起算点的拟合中误差，分析GPS拟合高程的内符合精度。
2. 在GPS网中，适当多联测若干GPS网点几何水准，作为检核点，通过计算检核点的拟合中误差，分析GPS拟合高程的外符合精度。
3. 把检核点的拟合残差与相应等级的水准测量限差比较，分析GPS拟合高程所能达到的精度。
笔者认为对GPS高程拟合精度的分析除上述方法外，还有一个重要环节是应对拟合后的高程异常值绘制高程异常图，来检核高程拟合前后高程异常图的变化，进一步分析高程拟合特别是分区拟合接合部的高程拟合精度。
例如某市GPS网高程拟合分三个区分别作曲面拟合，拟合后的高程异常图(图2)很明显存在二区间(Ⅱ和Ⅲ区)等值线的分群，因此需要对各分区间的衔接增加必要的高程拟合起算数据。可以选用跨区拟合起算点，并对分区线上点的高程取二区拟合高程中数。
七、结论和建议
经过上述分析和实例我们可得出如下结论和建议：
1. 采用二阶多项式函数模型进行曲面拟合时模型的适用范围是在似大地水准面形状为一“抛物单曲面”，即仅有一个凹面或凸面。如果似大地水准面形状存在两个以上凹凸面，需要对高程拟合进行分区拟合，使分区域内似大地水准面形状为一“抛物单曲面”。
2. 利用高程异常图对高程拟合起算点的可靠性分析时须对该点大地高和正常高分别检查，如果确认局部高程异常变化较大时应在该点周围增加水准联测点密度，以反映高程异常细部，使高程异常图较好地反映测区似大地水准面形状。
3. 对高程拟合精度的分析，笔者强调应绘制拟合后的高程异常图，进一步分析高程拟合特别是分区拟合接合部的高程拟合精度情况。
4. GPS拟合高程精度在较大程度上取决于测区高程异常变化的均匀程度。对于不规则曲面，特别是局部小区域存在多个凹凸面，采用二阶多项式函数模型有其一定的局限性。笔者建议可利用其他方法来内插高程异常值，例如采用更高阶次多项式函数模型，或采用多面函数模型等方法。上述认识有待于进一步探讨。
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