抗差卡尔曼滤波模型及其在GPS监测网中的应用
摘要：根据量测向量中的粗差对状态向量滤波值的影响规律(导出了抗差卡尔曼滤波模型(该模型对观测空间和设计空间均具有良好的抗差性3通过对含有粗差的模拟.68监测网的计算(与标准卡尔曼滤波模型相比较(利用该抗差滤波模型(可获得可靠的变形分析结果。
关键词：抗差卡尔曼滤波；GPS监测网；等价增益矩阵；粗差；多余观测分量
1 前言
5"年代初问世的卡尔曼滤波理论是一种对动态系统进行数据处理的有效方法(它利用观测向量来估计随时间不断变化的状态向量(从估计的角度来说(属于7状态8估计问题3由于其在对状态向量进行估计时(不需要存储大量的历史观测数据(利用新的观测值(通过不断的预测和修正(即可估计出系统新的状态3因此卡尔曼滤波被广泛地应用于各种动态测量系统中(如处理.68变形监测数据(进行.68实时动态定位等3但是(标准卡尔曼滤波理论(对动态系统提出了严格的要求(要求系统噪声和观测噪声为零均值白噪声3这一条件在实践中难以满足(致使滤波结果失真3因此(人们提出了克服这一缺陷的许多方法(如抗差滤波方法9#:;粗差探测方法9*:等3由非随机误差引起的模型误差!也可采用文献"#$中的方法加以解决!即首先识别模型误差的类型!然后进行相应的补偿。
在&’(监测网观测过程中!由于受到周跳)(*政策)整周模糊度解算误差及多路径效应等的影响!致使根据相位观测值解算的基线向量中含有粗差%当采用标准卡尔曼滤波结果进行变形分析时!由于观测噪声不再是零均值白噪声!则导致变形分析结果的失真%本文针对这种情况+即认为动态系统的状态方程是正确的!而量测方程存在模型误差,!构造了一种抗差卡尔曼滤波模型!通过对模拟&’(监测网的数据处理!取得了良好的结果。
2 标准卡尔曼滤波模型
设&’(监测网由.个点组成!网中基线向量数为/%以&’(点在0&(123空间直角坐标系中的#维位置和#维速率为状态向量%则该动态系统的状态方程和量测方程为"3$
其中!45为5时刻的系统待估状态向量!>5为5时刻系统的量测向量!95!5:7为5:7到5时刻的系统一步转移矩阵!?5 为5时刻系统的量测矩阵!<5!5:7为系统噪声矩阵!=5:7为5:7时刻的系统噪5时刻系统的量测噪声%卡尔曼滤波的随机模型为
其中!H=+5,称为系统动态噪声方差阵!称为观测噪声方差阵!I5G为MNEOPDQPN函数。
标准卡尔曼滤波方程为式中!4"5R+5:7,$为一步预测值!HU"5R+5:7,$
为一步预测方差阵!S5为状态增益矩阵!T5为预测残差或信息%
可以看出!卡尔曼滤波方程是一组递推公式!其计算过程是一个不断预测)修正的过程%在求解状态向量时!不需要保存大量的历史观测数据%按一定方法"3!$确定了系统的初始状态后!即可根据滤波方程及新的量测向量求得新的状态向量滤波值!这正适于处理多期重复观测的&’(监测网的观测数据!以对监测网进行变形分析。
3 抗差卡尔曼滤波模型
3.1 量测粗差对状态向量的影响
标准的卡尔曼滤波模型!要求系统的动态噪声和观测噪声为零均值白噪声!但在实际应用中!这一条件难以满足%本文仅讨论量测方程中存在模型误差的情况%如在&’(监测网的观测过程中!如前所述!由于各种误差的影响!致使量测值中含有粗差%此时若仍然采用标准卡尔曼滤波模型进行数据处理!则无疑会使变形分析结果失真。
对于&’(变形监测网!当观测向量中含有粗差时!则系统的量测方程应为式中!a5为5时刻的粗差干扰矩阵!由元素C和7组成cb5为粗差向量%此时若仍然按标准滤波模型进行滤波!则含有粗差影响的预测残差为由式+3,和式+6,可知!粗差在预测残差中的反映程度!主要取决于位置参数初值的可靠性%根据卡尔曼滤波的特点!实际上取决于动态系统的初始状态%一般而言!按文献"3$)"$中的方法!可获得动态系统可靠的初始状态!此时粗差在预测残差中得到了相当的反映。
将式+6,代入式+3W,的第一式!则状态向量方程为即观测向量中的粗差通过状态增益矩阵S5影响到状态向量滤波值%当已知量测向量>5中含有f个粗差时!则粗差对状态向量的影响为+以下略去增益矩阵的下标5,若将上式变为则只要根据0+的大小来选择合适的常数-#+1即可消除或削弱粗差对状态向量的影响2实际上我们对粗差出现的位置和大小并不了解1即不能确定式$/’的具体形式2由于观测向量中的粗差在预测残差中得到了很大程度的反映1因此可根据标准卡尔曼滤波的预测残差3%1将状态向量"$%&%’的计算公式改化成式中1-#+为可变常数1据此即可消除或削弱量测向量中的粗差对状态向量的影响。
3.2 抗差卡尔曼滤波模型
在式$>’中1可变常数-#+取决于两种因素2其一是向量量测值的预测残差3%B其二是增益矩阵C%2由于增益矩阵C%是由状态向量的预测方差阵E4%&$%5,’6F观测噪声方差阵DG$%’和量测矩阵H%确定的1而DE4%&$%5,’6与第%期的观测向量无关1因此C%主要由DG$%’和H%确定1即由IJK监测网的图形结构和观测精度确定2根据误差可靠性理论1图形结构和观测精度可用网的多余观测分量这个指标来表示2所以增益矩阵C%主由监测网的多余观测分量L决定1即-#+又取决于多余观测分量L+2若在设计阶段已确定了监测网的结构和观测方案1则多余观测分量L+是可以计算出来的4M62从式$>’来看1若预测残差中含有的粗差在不同的范围内1则-#+的取值不同2当粗差大于某一限值时1应剔除该量测向量B当粗差较小时1即认为量测向量中仅含有偶然误差时1则应保留该量测向量B否则降低量测向量对状态向量的影响2这一区域1用参数%N和%,来表示2这样-#+为:+FO+F%N和%,的函数1即则式$>’成为在式$,,’中1根据抗差估计理论1称P$Q’C为等价增益矩阵1P$Q’+.#+为等价增益矩阵元素2因此抗差卡尔曼滤波模型的抗差效果1取决于等价增益矩阵2通过分析1构造如下的等价增益矩阵4R1/6
式中1%NF%,为抗差参数2%N称为分位参数1取%N(;@^_8@^B%,称为淘汰点1取%而式$,8’中1:+为量测向量+的预测残差1O+为量测向量+的多余观测分量1b+为量测向量+的方差2则式$,N’中的-#+为即-#+根据预测残差:+和多余观测分量O+取不同值1对观测向量+或剔除不用1或降低其对状态向量的影响1或完全利用该观测向量。
由式$,;’和式$,8’计算的等价增益矩阵元素构成的等价增益矩阵1考虑到了预测残差和监测网的多余观测分量对状态向量滤波估值的影响2从经典平差理论来看1即顾及到观测空间和设计空间对参数估值的影响2因此本文构造的抗差卡尔曼滤波模型1对观测空间和设计空间均具有良好的抗差作用。
采用抗差卡尔曼滤波模型获取第%期监测网的状态1需迭代求解2首先按式计算第*步迭代时的状态向量的预测值及向量量测值的预测残差1即将第$*5,’步状态向量的抗差滤波值"%4$*5,’&$*5,’6作为第*步抗差滤波时状态向量的预测值"%4*&$*5,’61并据此计算第*步的预测残差B其次按式$,;’和式$,8’计算等价增益矩阵B第三步1按式计算第*步抗差滤波值2计算等价增益矩阵时1量测值的多余观测分量L保持不变1可由%期监测网的结构和向量观测值的协方差阵计算获得2当状态向量的滤波值和预测值之差小于迭代收敛精度时1则本期抗差滤波结束2在式$,^’中1当*(,时"%$N&N’是%期监测网标准卡尔曼滤波模型计算得的滤波值2这种迭代算法有助于加快迭代收敛速度2当抗差滤波结束后1按式计算本期抗差滤波的状态向量方差阵2其中的等价增益矩阵是抗差滤波收敛时的结果
式#/1&中2!".$%#$)/&0为$)/期监测网进行卡尔曼滤波时系统的预测方差阵2按式#45&的第6式计算2而其中的!7#$)/&根据$)/期监测网滤波状态参数#8维位置与速率&的协方差阵进行计算。
按上述步骤对下一期观测数据进行抗差卡尔曼滤波处理3最后根据滤波结果2即可采用9检验法来检验:;<监测网在两期观测间监测点上是否发生了变形及变形值的大小.42=0。
4 算例
4.1 模拟数据
为考察本文所构造的抗差卡尔曼滤波模型的抗差效果2以某一实测/A点:;<网#8B条基线向量&为基础2来模拟变形数据3该网经外业质量检查及空间无约束平差2其质量合乎相应等级的精度要求2可认为基线向量中无粗差2作为:;<监测网的第一期成果3在第一期的平差坐标中2分别在4C/6C/4C/A等点上加入不同的变形值2然后重新计算基线向量2并在其中加入随机误差3这样模拟了4期:;<监测网的观测值3表/中列出6D4期:;<监测网的模拟变形值3这种方案称为方案E。
在方案E的基础上2在第8期和第4期网的模拟基线向量中2加入模拟粗差2与方案E的第/C6期观测值一起构成方案]3所加粗差的位置及其大小见表6。
利用以上两种方案的观测值进行卡尔曼滤波时2由于第/期和第6期数据中不含粗差2因此根据文献.40C.A0可由这两期数据的经典平差成果获得可靠的滤波初值3然后对8C4期模拟观测值分别采用标准卡尔曼滤波模型和抗差卡尔曼滤波模型进行滤波2根据滤波结果进行变形分析2并将变形分析结果与模拟变形值进行比较2以考察抗差卡尔曼滤波模型的抗差效果。
在实际应用中2若不能肯定第/期和第6期数据中是否含有粗差2可采用基于标准化残差的相关观测抗差估计模型.10进行平差计算2此时仍可获得该动态系统可靠的初始状态。
4.2 计算结果
表8中列出了方案EC方案]分别采用标准卡尔曼滤波模型和抗差卡尔曼滤波模型#取抗差参数$B’8?A2$/’4?A&的计算结果所得变形值与模拟变形值之间最大差值的绝对值。
由表3可以看出：
1）若观测值中无粗差#方案E&2当采用标准卡尔曼滤波模型时2计算变形值与模拟变形值间的最大差值小于/XX2平均在B?1XX以下g当采用抗差卡尔曼滤波模型时2计算变形值与模拟变形值相同3这说明本文构造的抗差滤波模型2符合抗差估计理论的第一个特点2即当观测值服从正态分布时2抗差滤波模型的计算结果和标准滤波模型的计算结果是一致的。
2）若观测值中含有粗差#方案$%&当采用标准卡尔曼滤波模型时&在模拟的变形点上&计算变形值与模拟变形值间的最大差值为’"!((&平均在!")((以上*同时在非变形点上&也检测出了形变*可见&在观测值中含有粗差的情况下&采用标准的卡尔曼滤波模型&则会导致变形分析结果的失真。
3）若观测值中含有粗差#方案$%&当采用抗差卡尔曼滤波模型时&在模拟的变形点上&计算变形值与模拟变形值间的最大差值一般均小于,((&平均在-"’((以下.在非变形点上&未检测出形变*这一结果和无粗差时标准卡尔曼模型的计算结果相近&即采用抗差卡尔曼滤波模型的计算结果所得的变形值是可靠的*这说明本文构造的抗差滤波模型&符合抗差估计理论的第二个特点&即当观测值服从污染正态分布时&抗差滤波模型的计算结果&与观测值服从正态分布时标准滤波模型的计算结果是一致的。
利用抗差卡尔曼滤波模型&还对其他模拟/01监测网数据进行了处理&所得结论与上述相同*总之&不论观测值中是否含有粗差&采用本文构造的抗差滤波模型&均可获得真实的变形值。
5 总结
卡尔曼滤波技术应用于/01变形监测数据处理中&可实时地获得监测系统的当前状态*由于卡尔曼滤波除了可掌握系统的当前状态外&还可预测系统的未来&这对于变形监测网来说&也是一个重要的方面。
在/01监测网的数据采集过程中&由于各种因素的影响&致使基线向量中可能含有粗差*此时若采用标准卡尔曼滤波模型进行数据处理&则导致变形分析结果的失真*采用本文构造的抗差卡尔曼滤波模型进行数据处理&不论观测值中是否含有粗差&变形分析结果与实际情况基本一致&对粗差的影响不敏感。
本文构造的抗差卡尔曼滤波模型&考虑到了预测残差和监测网的多余观测分量对状态向量滤波估值的影响&从经典平差理论来看&即顾及到观测空间和设计空间对参数估值的影响*因此本文构造的抗差卡尔曼滤波模型&对观测空间和设计空间均具有良好的抗差作用。
在利用抗差卡尔曼滤波模型进行数据处理时&需要进行迭代计算*本文提供的迭代算法有助于加快迭代收敛速度。
本文构造的抗差卡尔曼滤波模型&未顾及到状态方程中存在模型误差的情况&这仍有待于进一步研究。
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